在本文中，我们为平面中任意路径连通区域的交集图（称为字符串图）构建距离草图，适用于常数和 $1+\varepsilon$ 失真范围。此外，距离草图本身也是平面图。
首先，我们证明每个无权字符串图 $G$ 都具有 $O(1)$ 失真的平面模拟器：即存在一个边加权平面图 $H$，包含 $G$ 中的每个顶点，使得每对顶点 $(u,v)$ 满足 $\delta_G(u,v) \leq \delta_H(u,v) \leq O(1) \times \delta_G(u,v)$。
进一步地，我们展示，对于任何常数 $\varepsilon > 0$，存在一个边加权平面图 $H'$，使得每对顶点 $(u,v)$ 满足 $\delta_G(u,v) \leq \delta_{H'}(u,v) \leq (1+\varepsilon) \times \delta_G(u,v) + O(\varepsilon^{-4} \operatorname{poly} \log n)$。
在此之前，即使是简单形状（如轴平行矩形或胖凸多边形）的交集图，也没有已知的稀疏距离草图构造。
作为应用，我们构造了第一个 $(1+\varepsilon, +O(1))$ 混合失真树覆盖和距离预言机，适用于任意字符串图，以及第一个加法 $+(\varepsilon \Delta + O(1))$ 失真嵌入，将字符串图 $G$（直径为 $\Delta$）嵌入到常数树宽 $O(\varepsilon^{-4})$ 的图中。
博主点评： 本文为字符串图的研究提供了重要进展，构造了有效的平面模拟器，突破了以往在稀疏距离草图构造方面的限制。该工作不仅在理论上具有意义，也为实际应用提供了新的思路，尤其是在图的嵌入与覆盖问题上。