我们开启了对 $k$-次亚模函数的属性测试研究，这是一种定义在基集合部分划分上的高维亚模函数的类。虽然 $k$-次亚模性保留了普通亚模性的递减收益特性，但它还引入了一种比较同一元素竞争分配的成对单调性约束。
这种额外的局部结构使得测试问题在质量上与经典情况截然不同。我们的结果显示了距离范畴之间的明显对比。
在 $\ell_p$ 范畴中，对于 $p \geq 1$，我们证明了每个有界的 $k$-次亚模函数均接近于超网格上的一个 junta。结合对超网格域的隐式学习测试器，这为 $k$-次亚模性提供了一个常量查询测试器。
在汉明距离范畴中，$k$-次亚模性承认两种质的不同局部见证——递减边际收益的违反方格和成对单调性失败的违反三角形，后者在 $k=1$ 时没有对应物。
我们通过对部分划分的过滤器和理想进行修复，证明了这两种见证类型的密度定理，得到了非自适应、单侧的次指数查询测试器，用于 $k$-次亚模性的两个组成属性。
随后，我们展示了一种配置，其中两个修复方向在共享顶点上被迫对立，识别出将这些组合为完整属性测试器的结构障碍。
最后，对于有界范围的函数，我们通过伪 DNF 表示和在超网格上的学习，提供了单调 $k$-次亚模性的自适应测试器。这里开发的若干结构和学习工具可能对测试其他属性在乘积域上的表现有帮助。
博主点评： 本文开创性地探讨了 $k$-次亚模函数的测试，揭示了其与经典亚模函数的显著差异。通过结合理论与实际测试方法，研究者为这一领域提供了新的思路，尤其在多维数据结构的应用场景中，具有重要的参考价值。