在大多数神经偏微分方程（PDE）代理模型中，网格的选择通常是在场演变之前就已确定的，这影响了模型在空间、分辨率和光谱带宽上的能力分配。本文提出，网格设计的选择应该是可学习的，从而引出一个新的问题：代理模型能否在预测场演变之前学习出应存在的分辨率？我们将自适应离散化形式化为一个物理约束的条件生成问题，涉及有效网格位移的生成。由于扩散模型在PDE场预测中的成功，本文探讨了其在类似结构约束下学习自适应离散化的潜力。
该方法分为两个阶段：第一阶段学习基于观察到的动态的 r-自适应位移网格，第二阶段则根据网格信息预测解的演变。网格生成器通过物理意识代理通道、几何有效性约束和局部光谱集中进行正则化，以确保适应过程在物理上可解释且数值上合法。实验结果显示，基于扩散的学习离散化在五种PDE情境下与自适应网格和降阶基线相比表现出竞争力，尤其是在固定或手工分配不足的情境下取得了显著的提升。
主要结论是，并不存在通用的最佳网格规则，而是应该根据不同的情境学习离散化：不同的空间和光谱结构偏好不同的分配行为。这一发现将神经PDE求解器中的自适应网格方法从特定求解器的启发式方法转变为生成表示学习问题。
博主点评： 本文通过引入扩散模型的思想，对传统自适应网格的设计进行了深刻的反思与创新，展示了如何将物理约束与机器学习相结合，推动数值模拟领域的发展。此方法不仅具有理论意义，还为实际应用提供了新的思路，值得深入研究。