多尺度问题通常难以通过传统数值方法解决，因为准确解析细尺度特征常常需要过于精细的离散化。这一挑战在材料科学、流体动力学、气候系统、化学过程和复杂网络等应用中尤为突出。尽管最近的神经算子模型为此提供了一种有前景的数据驱动替代方案，但在处理强异质或振荡系数时，准确性常常不足。
本研究集中于具有粗糙和高对比度输入的椭圆偏微分方程（PDE）的求解。局部正交分解（LOD）方法是处理此类问题的成熟数值方法，然而，它的计算成本相当高。我们评估了流行的神经算子架构在这些具有挑战性的多尺度问题上的性能，并识别出它们在解析细尺度结构方面的主要局限性。
为克服这些挑战，我们提出了LOD-MSNO（LOD-多尺度神经算子），这是一种混合方法，利用LOD方法作为强多尺度先验，通过建立问题适应的基函数的线性组合来构建解的表示，同时通过数据驱动的算子学习来解决其主要的计算瓶颈。我们还为所提出的系数学习框架提供了理论误差估计。最后，我们展示了所提出方法在处理具有挑战性的多尺度输入时的潜力，能够在准确性上超越当前神经算子基线，同时主要保持神经算子模型的计算效率。
博主点评： 本文通过结合传统的LOD方法与深度学习，提出了一种有效的多尺度问题求解策略，展现了在保持计算效率的同时，提升解决高对比度输入的准确性。这一创新方法为复杂物理系统的建模提供了新的视角，具有重要的应用前景。