在低维问题中（$d \leq 3$），谱方法能实现极高的精度；在中维问题中（$4 \leq d \lesssim 10$），通过稀疏网格或双曲交叉等特定技术，谱方法仍然可行。然而，在高维问题中（$d \gg 10$），谱方法遭遇维数诅咒。物理信息神经网络（PINNs）作为一种有前景的解决方案，能够扩展到高维，但通常在精度和效率上存在局限。最近提出的谱信息神经网络（SINNs）结合了谱方法与PINNs，直接在谱域中操作，避免了空间导数计算，减少了内存消耗。
在本研究中，我们引入了改进的SINNs，集成了系数衰减缩放和基函数嵌入，这些设计受到谐波分析的启发，以提高高维问题的精度，并能准确近似未知的谱系数。数值实验表明，改进的SINNs在缺乏完整谱信息的中维问题上超越了稀疏网格谱方法，并在高维问题上相比PINNs达到了更优的精度。
博主点评： 改进的谱信息神经网络（Modified SINNs）通过结合谱方法和PINNs，提供了一种有效应对高维偏微分方程的途径。这种方法不仅提升了计算精度，还降低了内存消耗，为高维问题的求解开辟了新的可能性，值得深入研究与应用。