在这篇论文中，作者探讨了二进制卷积和循环卷积的误差特性，强调了Hadamard变换在计算效率上的优势。二者均可在 $O(N\log N)$ 时间内完成计算，但Hadamard变换因其实数值符号翻转而更为理想。然而，替代DFT时引入的代数误差不可忽视。
本文提出了三项互补结果来表征这种误差：
- 精确误差消除：在两个输入和输出位置上，误差是普遍无误的，输出的任何重排序都无法消除这种误差。
- 误差算子的秩：误差算子几乎是满秩的，而其零空间的维度仅为对数级别。
- 期望误差的控制：期望误差由一个单一的对齐标量控制，并通过对随机滤波器的平均获得闭式表达式。
总体来看，替代误差在渐进上会使输出能量加倍，但对于处于普遍零误差子空间的滤波器，不会产生误差。这些结果共同表明替代误差是有结构的、可预测的，并由对齐所主导。
博主点评： 这篇论文通过严谨的数学分析揭示了Hadamard变换与DFT替代过程中产生的误差特性，强调了在实际应用中选择合适卷积方法的重要性，尤其是在对性能要求高的场景中。