设 $G$ 为无权无向平面图，$S=(s_0,\dots,s_{k-1})$ 为某个面上的顶点，按循环顺序给出。对任意顶点 $v$，记其到 $S$ 中所有顶点的距离构成向量 $d_v$，取相邻距离之差得到模式 $p(v)$。Li 与 Parter [STOC'19] 给出所有顶点模式数的上界 $O(k^3)$。我们利用 OpenAI GPT 5.6‑Sol 模型得到的简洁证明，将上界紧化至 $O(k^2)$，恰好匹配已知下界，解决了 [ISAAC'22] 中的猜想。
将该结果代入已有框架，可直接得到三条重要推论：
- 改进 Okamura‑Seymour 度量的压缩方案；
- 降低常数时间精确距离预言机的空间需求；
- 加速计算直径的分布式算法。
更进一步，我们发现一个此前未被注意的非平凡应用：在中心化模型下可在 $\tilde{O}(n^{8/5})$ 时间内求平面图直径，这优于 [SODA'18] 对加权有向平面图的 $\tilde{O}(n^{5/3})$ 算法。由此暴露出加权与无权平面图直径计算时间的当前差距。
博主点评：该工作不仅在理论上收紧了面距离模式的上界，还通过直接的算法改进展示了上界紧致性的实际价值，值得关注。