我们首先证明了随机特征方法（RFM）在 Sobolev、Gevrey、超解析以及带限函数类上的谱收敛性。分析给出了在由核积分算子生成的插值尺度上的高概率近似估计。只需一次由采样特征决定的事件，就能使一个随机空间近似源球内的所有目标；对每个目标，仅需一个系数向量即可构造出在所有可接受误差范数下同时达到谱精度的近似函数。针对正则性自适应的频率分布以及在不断扩大的频率窗口上的均匀分布，收敛速率从超指数到代数不等，取决于目标函数的正则性。随后，我们给出了强形式和弱形式 RFM 离散化的抽象误差估计，从而把上述近似界转化为多维二阶椭圆边值问题和特征值问题的收敛结果。最后，对随机特征矩阵（RFMtx）我们证明了 Fourier 特征下的奇异值超指数衰减和 $\tanh$ 特征下的指数衰减，并给出了相应的条件数下界。分析表明，同一谱近似既带来高精度，也导致严重的病态性。
点评：该工作系统地揭示了 RFM 在高维光滑函数空间中的极限表现，为理论上解释其在 PDE 求解中的成功提供了坚实依据，同时也警示了实际计算中需要对病态性进行专门的数值处理。