我们研究了 $k$ 稀疏量子态的层析问题。相较于经典分布学习，后者在支持大小上的样本和时间复杂度界限已经非常明确，但对稀疏量子态的研究此前几乎没有非平凡的界限。本文给出了首个近乎最优的算法，用于学习 $n$ 量子比特的 $k$ 稀疏纯态。该算法在高概率下能够得到保真度至少 $1-\varepsilon$ 的估计，只需 $$\tilde{O}\left(\frac{k}{\varepsilon}\right)$$ 份状态拷贝，且运行时间为 $$\tilde{O}\left(\frac{kn}{\varepsilon}\right)$$。这两个上界在多项式对数因子之外均达到下界的最优水平。进一步地，利用随机纯化通道技术，我们将该方法推广到 $k$ 稀疏的秩为 $r$ 的混合态，得到样本复杂度 $$\tilde{O}\left(\frac{kr}{\varepsilon}\right)$$，同样接近最优。当前仍未解决的关键问题是：在 $r>1$ 的情况下，是否能够设计时间复杂度与样本复杂度几乎匹配的算法。
点评：本文突破性地将稀疏量子态学习的样本与时间复杂度拉到与经典稀疏分布学习相同的量级，为后续高维量子系统的高效层析奠定了理论基础，也指明了在混合态情形下进一步优化时间开销的研究方向。