我们证明了在有限域 $\mathbb{F}_2$ 上进行 $3\times3$ 矩阵乘法的双线性复杂度至少为 $21$，将此前的下界 $20$ 提升了一位。关键思路是对分解的第一因子在各子空间中的分布施加更强的限制：若假设存在 $20$ 项的分解，则这些限制迫使所有秩至少为二的第一因子落入某个三维秩一子空间的同余类。随后通过穷举搜索验证，没有满足这些条件的 $20$ 项配置存在。
此外，我们还证明了在 $\mathbb{F}_3$ 上的 $2\times3$ 与 $3\times3$ 矩阵乘法的张量秩恰为 $15$。在对应的对称性归约计算中，只有三种 $14$ 项的配置能够存活，但通过简短的限制论证即可将它们排除。
技术上，我们结合了 Wang 的自动化张量秩下界框架与 D'Ambrosio 的容量‑配置策略。计算贡献包括：
- 对秩一生成子空间的搜索，用以强化子空间下界表；
- 一个直接的、利用对称性削减的配置枚举器，能够同时强制所有子空间容量约束。
这些方法共同构成了本工作在理论与实现层面的创新。
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