时间序列预测随着深度学习模型的出现取得了显著进展，但在涉及物理过程的应用中仍面临巨大挑战。传统的物理信息神经网络（PINN）虽引入了物理约束，却未能估计不可观测的中间物理变量，这限制了领域专家对目标行为的理解。
为了解决这一问题，我们提出了物理信息循环神经网络（PIRNN），它在预测目标的同时，对历史数据和预测区间的不可观测变量进行估计。该方法利用领域知识提升模型鲁棒性并改善结果解释性，且能够轻松适配任意包含若干方程、每个方程拥有自身不可观测变量的物理模型。
案例研究中，我们将地下水位预测的物理模型 Gardenia 的传输方程嵌入 PIRNN。Gardenia 通过数据同化优化储层之间的转移方程，以模拟地下水位的演化。我们在十二个真实数据集上将 PIRNN 与多种主流神经网络模型以及原始 Gardenia 模型进行比较。实验结果显示，PIRNN 在其中五个数据集上取得了最佳性能，且消融实验进一步证明了物理背景在时间序列预测任务中的关键作用。
最后，领域专家对网络预测的物理变量的一致性进行了评估，验证了模型输出的物理合理性。
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