神经网络的损失函数由于参数维度极高，其全局结构仍难以系统化理解。网络结构和学习目标天然产生的对称性为研究提供了切入点。已有工作关注这些对称，但对其系统化描述以及由此产生的关键轨道（critical orbits）仍不完整。本文基于等变度理论族构建了一种拓扑对称指数，用以解码任意网络架构下的对称结构，并能处理退化的关键轨道。该指数通过检测临界点的同位群（isotropy）并量化其净拓扑贡献，实现对对称性的定量描述。常用的形式化表达为 $$\mathrm{Ind}_G(f, U)=\sum_{[x]\in \mathcal{O}} \frac{1}{|G_x|}$$，其中 $G_x$ 为点 $x$ 的同位群，$\mathcal{O}$ 为关键轨道集合。我们给出软激活 MLP、Transformer 和等变神经网络等实例，展示了指数的具体计算步骤。
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