我们证明任意 $n$ 点欧几里得度量空间都可以通过非扩张映射嵌入到实数直线上，使得平均失真上界为 $$O\!\left(\sqrt{\frac{\log n}{\log\log n}}\right)$$，该上界与已知的下界相匹配。关键思路是构造一种基于随机投影并结合分段线性映射的嵌入方案，能够在保持距离不增大的同时控制整体失真。随后我们给出两个重要应用。第一，利用上述嵌入结果设计了一种 cut‑player 策略，使得在无向割‑匹配游戏中能够实现最优的谱保证，即玩家的潜在函数在每一步的谱下降率达到理论极限。第二，基于相同的技术，我们得到在高阶图中对顶点扩张的谱近似改进，将近似因子提升到 $O!\left(\sqrt{\frac{\log d}{\log\log d}}\right)$（其中 $d$ 为最大度），显著优于之前的 $O(\sqrt{\log d})$ 结果。
点评：本文在欧几里得度量的线性嵌入上给出了紧致的平均失真界，并成功将其转化为图论中的两类经典问题的最优或改进的谱算法，展示了几何嵌入与离散优化之间的深刻联系。