一个适当的圆弧模型（PCA）记为 $M=(C,A)$，其中 $C$ 为圆，$A$ 为一族互不包含且端点两两不同的弧。模型 $M$ 表示有向图 $D$，每条弧 $a\in A$ 对应一个顶点 $v(a)$，若弧 $b$ 的起点落在弧 $a$ 上，则在 $D$ 中有边 $v(a)\to v(b)$。对任意 $k\ge 0$，$D$ 的 $k$ 次幂 $D^k$ 保持相同顶点，且当 $a\neq b$ 且 $v(a)$ 到 $v(b)$ 的距离不超过 $k$ 时，$v(a)\to v(b)$ 属于 $D^k$。
单位圆弧模型（UCA）是所有弧长度相同的 PCA，记为 $U=(C,A)$，每条弧长度为 $\ell+1$。若 $\ell$、圆周长 $c$ 以及所有弧的端点都是整数，则 $U$ 为 $(c,\ell)$‑CA 模型。对 $i\ge 0$，记 $i\times U$ 为将每条弧 $(s,s+\ell+1)$ 替换为 $(s,s+i\ell+1)$ 所得到的模型。若 $U$ 表示有向图 $D$，则当对所有 $0\le i\le k$，$i\times U$ 表示 $D^i$ 时，称 $U$ 为 $k$‑乘性的。
本文设计了一种线性时间算法，判断给定的 PCA 模型 $M$ 是否等价于某个 $k$‑乘性的 UCA 模型（$k$ 作为输入给出）。算法要么输出一个等价的 $k$‑乘性 UCA 模型 $U$，要么给出一个可在 $O(|M|)$ 时间内验证的负证书。核心技术是对等价于 $k$‑乘性 UCA 模型的 PCA 模型提供了新的刻画。特别地，当 $k=1$ 时，该刻画直接导出一个比已有方法更简洁的经典表示问题算法。
点评：本文的线性时间判定方法在圆弧图表示理论中具有重要意义，尤其是对距离约束的乘性扩展提供了统一的框架，为后续的图算法优化奠定了基础。