我们给出 Sinkhorn‑Knopp（SK）算法的全局谱上界。设 $A$ 为行随机的非负 $n\times n$ 矩阵，且存在有限的双随机缩放 $B$。记
$$ g = 1 - s2(B)^2 > 0,\qquad D = \min{|(u,v)|\infty : B = \operatorname{diag}(e^u) A \operatorname{diag}(e^{-v})}.$$
从标准初始化出发，SK 在 $\varepsilon$ 的总边际 $\ell_1$ 误差下，需要
$$O\!\left(\frac{D + \log n + \log(1/\varepsilon)}{g}\right)$$
次迭代。一个尺度不变的势函数按照 $B$ 的谱全局收缩。在线性 $D$ 依赖是固定间隙情形下不可避免的：我们构造了严格正的输入，使得输入和终点的谱间隙均为常数，但 $D = \Theta(n)$，并在误差 $n^{-2}$ 时得到 $\Omega(n)$ 的迭代下界。我们的上界在该族上给出 $O(n)$ 次迭代。
进一步，我们给出可扩展性的谱证书以及短缩放距离的估计。对于列和为正的行随机输入 $A$，记
$$K = \frac{\max_j c_j}{\min_j c_j},\qquad \sigma = s_2\!\left(A\operatorname{diag}(c)^{-1/2}\right),$$
其中 $c_j$ 为第 $j$ 列的和。仅依赖输入的条件 $\sqrt{K}\,\sigma < 1$ 保证了 $A$ 可被缩放到双随机矩阵，并且缩放距离上界为 $O\bigl(\frac{\sqrt{K}\,\sigma}{1-\sqrt{K}\,\sigma}\bigr)$. 该结果在实际数值实验中表现出与理论预测的一致性。
点评：本文通过谱间隙将 SK 的收敛速度与矩阵的几何结构直接关联，提供了迭代次数的紧致上界，并证明了在固定间隙下 $D$ 的线性依赖是必要的。所给的谱证书为判断矩阵是否可双随机化提供了实用的判据，具有重要的理论价值和算法指导意义。