我们研究了聚类问题的核集，重点关注经典的 $k$-median 和 $k$-means 目标。核集是输入数据的一个小规模加权摘要，能够在任意中心集合下近似保持聚类代价，是将聚类算法扩展到大规模数据集的核心工具。本文考虑容量约束的情形，即在选取中心的同时必须满足预设的簇大小限制。这一模型是标准聚类的自然推广，已有大量研究，但其核集复杂度尚不明确。对于有限度量空间，我们构造了最优规模的核集，惊人地与无约束聚类的已知上界相同。进一步，在欧氏空间我们给出了改进的核集上界，首次实现了对 $k$ 的近线性依赖且与维度和输入规模无关。核心技术是对最小费用流问题的对偶解的浓度界，这使得核集构造中采样分布的分析既更简洁又更紧致。$$\text{size} = \tilde O\big(k\,\epsilon^{-2}\big)$$ 其中 $\epsilon$ 为近似误差。\n\n点评：该工作在容量约束聚类的核集理论上取得突破，既提供了最优的有限度量空间结果，又在欧氏空间实现了几乎线性的 $k$ 依赖，为大规模受限聚类提供了实用的工具。